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Pronto cambió de orientación y trató de demostrar, precisamente, la imposibilidad de resolver esas ecuaciones con métodos algebraicos. Lo logró cuando contaba 24 años. Tuvo que luchar contra la penuria económica (él mismo tenía que pagar la edición de sus obras) y contra la incomprensión de otros grandes matemáticos. A pesar de todo se fue abriendo camino hasta lograr que la prestigiosa universidad de Berlín le ofreciera un puesto de profesor. Por desgracia, la oferta llegó demasiado tarde. Abel había muerto dos días antes, el 6 de abril de 1829, en Noruega, víctima de la tuberculosis. Tenía sólo veintiseis años.
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