0,999… = 1 (INNEGABLE IGUALDAD)

Donde el dígito 9 se repite indefinidamente), denotado como , ó 0.(9), es un número real. Curiosamente, este número es exactamente igual al número entero uno. Varias pruebas de esta identidad con distinto nivel de formalidad, han sido formuladas dependiendo del énfasis que se quiera hacer, tomando en cuenta por ejemplo los conocimientos previos y la audiencia a la que se expone el tema.

La igualdad ha sido aceptada por los matemáticos hace ya bastante tiempo y aparece de manera rutinaria en libros de texto. En décadas recientes, investigadores en el área de la enseñanza de las matemáticas han estudiado cómo los estudiantes perciben esta ecuación. Una gran cantidad de ellos rechazan la ecuación, principalmente debido a la errónea impresión de que cada fracción decimal describe un único número real.

A continuación se comentan tres argumentos no formales para ilustrarlo y una demostración matemática que lo prueba:

Multiplicación de 1/3

• Partimos de que 1/3 = 0,333…
• Multiplicamos por 3 ambos miembros: 3 × (1/3) = 3 × 0,333…, que debería dar 0,999…
• Vemos que 0,999… debe ser forzosamente 1, puesto que (1 / 3) × 3 = 1.
  

Con x = 0,999…

• Suponemos que x = 0,999… [1]
• Multiplicamos por 10 los dos números: 10x = 9,999… [2]
• Restamos las dos expresiones en los dos miembros: 10 x - x = 9,999… - 0,999… [2] – [1]
• Obtenemos que 9x = 9, es decir, x = 1, como queríamos demostrar.

Con formulación matemática

• Si x es un número entero entre 0 y 9, podemos considerar la siguiente fórmula:

• Tomamos el valor numérico de "x" como "9"
• Llegamos a la conclusión de que:

No existe ningún real entre 0,999… y 1

Un argumento más corto se deduce del siguiente hecho: Si dos números reales son diferentes, entonces existe al menos un tercero entre los dos, diferente de éstos. Éste tercer número puede ser, por ejemplo, la media aritmética de los dos. Ahora bien, es imposible intercalar ningún número entre 0,999… y 1, y por tanto, estos deben ser iguales.

Graxias: Wikipedia